Les mathématiques sur la corde raide

Un nœud mathématique, c'est comme un nœud pour tout le monde : une ficelle entortillée. La seule différence est qu'on recolle les bouts de la ficelle, pour qu'elle ne puisse pas se défaire. Les questions sur les nœuds ont joué un rôle moteur en recherche depuis 150 ans, et certaines parmi les plus simples n'ont pas encore reçu de réponse satisfaisante. Je parlerai ainsi de la notion d'invariants, sur laquelle je travaille au quotidien, et nous irons également faire un tour en dimension 4 pour parler de nœuds en tranches et évoquer une très jolie conjecture.

Si vous avez déjà eu entre les mains un ballon de foot, vous avez sûrement déjà remarqué qu'il est fait de faces noires à 5 côtés et de faces blanches à 6 côtés. Je préfère pour ma part jouer avec des ballons où les faces noires sont des carrés. Un tel ballon est appelé "permutoèdre". Il roule moins bien que le ballon usuel mais a un tas d'autres propriétés toutes aussi intéressantes avec des applications à l'optimisation combinatoire et à l'analyse de données. Je vous présenterai au cours de mon exposé cet objet et quelques unes de ces propriétés, en illustrant mes propos... avec des fils !